A descoberta dos sólidos platônicos

Adolescente, um dia encontrei lá em casa um livro, "Geometria Euclidiana", dos tempos da minha mãe na escola normal. Dona Isaura reagiu sem entusiasmo: "Eu detestava. Era só ‘condição necessária’ pra cá, ‘condição suficiente’ pra lá, não entendia nada!". Não teve a sorte de ter bons professores, uma pena.

Porque a geometria euclidiana é uma joia, a melhor via para conhecer essa combinação de intuição, descoberta e rigor que só a matemática propicia. Mas na minha própria experiência como aluno, vi a geometria sendo cada vez mais "esquecida" na sala de aula, uma tendência difícil de reverter.

Entre as minhas leituras em "Geometria Euclidiana", a mais memorável foi o teorema que diz que existem exatamente cinco sólidos (poliedros) regulares. Acho que aprendi o conceito naquele mesmo momento: um poliedro é regular se todas as suas faces são polígonos regulares –todos os lados e ângulos são iguais entre si– idênticos e em cada vértice se encontra sempre o mesmo número de faces.

Eu conhecia dois ou três: o cubo (ou hexaedro), que tem seis faces quadradas, o tetraedro, com quatro faces triangulares e, talvez, o octaedro, oito faces triangulares. Mas nunca tinha ouvido falar do icosaedro, 20 faces triangulares, menos ainda do espetacular dodecaedro, com suas 12 faces pentagonais.

O que me impressionou mais foi saber que é possível determinar, de forma rigorosa e definitiva, quantos desses objetos maravilhosos existem.

O argumento é o seguinte. Em cada vértice se encontram três ou mais faces, cujos ângulos internos podem valer 60º (triângulos), 90º (quadrados), 108º (pentágonos) etc. A soma desses ângulos tem que ser menor do que 360º, uma volta inteira. Isso só deixa a possibilidade de serem três, quatro ou cinco faces triangulares (tetraedro, octaedro, icosaedro), três faces quadradas (cubo), ou três faces pentagonais (dodecaedro) em cada vértice.

Mais tarde, fiquei sabendo que esse teorema é a Proposição 18 do Livro 13 dos "Elementos", de Euclides, e que a demonstração é do matemático ateniense Teeteto (417 a.C.-369 a.C.).

Na filosofia do seu contemporâneo Platão (427 a.C.-348 a.C.), os cinco sólidos –que agora chamamos platônicos– ocupam papel proeminente: tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro seriam responsáveis por gerar os quatro elementos clássicos: fogo, terra, ar e água, enquanto o dodecaedro "foi usado pelo demiurgo para organizar as constelações no firmamento".

Mas o argumento de Teeteto não chega a ser uma prova matemática. Aliás, mais quatro sólidos regulares foram descobertos no século 17. Não perca na semana que vem!