10/01/2002 - 11h15

Resumão/matemática - O problema do espaguete

JOSÉ LUIZ PASTORE DE MELLO
especial para Folha de S.Paulo

Quem conhece a tradição culinária italiana sabe que não há heresia pior do que comer um belo prato de espaguete cortando os fios com a faca. Que me perdoem os italianos, mas o espírito científico do artigo de hoje exigirá várias partições de um fio de espaguete. Iniciemos com a seguinte pergunta: se partirmos um fio de espaguete aleatoriamente em três pedaços, qual será a probabilidade de conseguirmos formar um triângulo com esses pedaços?

Ao partir um fio de espaguete de 20 cm em três partes, podemos dizer que o comprimento de cada pedaço é igual a x, y e 20-x-y centímetros. Para o cálculo da probabilidade que nos interessa, precisamos determinar o total de casos favoráveis e o total de casos possíveis do evento em questão. Ambas as contagens se referem a espaços contínuos, e não discretos, o que, por exemplo, impede que contemos uma a uma todas as infinitas possibilidades de valores para x, y e 20-x-y. Como alternativa, resolveremos o problema por meio de cálculo indireto envolvendo áreas.

Para calcular o total de casos possíveis, temos apenas de nos fixar na representação das restrições, garantindo que o fio de espaguete tenha sido partido exatamente em três pedaços, ou seja x>0, y>0 e 20-x-y>0. A região hachurada da figura 1 mostra a representação da intersecção dessas três condições no plano cartesiano.

Reprodução

Quanto ao cálculo dos casos favoráveis, lembremos que para formar um triângulo a partir de três segmentos, a soma de quaisquer dois deles deve sempre ser maior que o terceiro (desigualdade triangular). Dessa forma, queremos a região que delimita a intersecção de x+y>20-x-y, x+20-x-y>y e y+20-x-y>x ou resumidamente x+y>10, y<10 e x<10 (região hachurada na figura 2).

Reprodução

Por fim, para calcular a probabilidade P de conseguirmos formar um triângulo com os três pedaços de espaguete, basta fazer a divisão da área do triângulo hachurado na figura 2 pela área do triângulo hachurado na figura 1, ou seja P=50/200 (25%). Ficamos por aqui e um feliz ano 2002 para todos.
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José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro

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