As autoridades de Oz estão preocupadas com uma doença que afeta a população. A enfermidade é grave, mas pode ser tratada se for detectada no início. Seria natural testar logo todo mundo, mas testes não são infalíveis: a chance de um doente testar negativo é 2%, e a chance de que alguém saudável teste positivo é 3%.

Falsos positivos são especialmente problemáticos: além de trazerem à pessoa a angústia de achar que corre risco de vida, ainda apontam para um tratamento caro, desconfortável e, no caso, desnecessário. Mas as chances de erro parecem bem pequenas, será que não vale a pena correr o risco assim mesmo?

Uma questão central é a seguinte: quando o resultado é positivo, qual é a chance de que a pessoa esteja saudável e, portanto, o tratamento não se justifique? A resposta é dada pela teoria da probabilidade inversa, criada no século 18 pelos trabalhos do britânico Thomas Bayes e do francês Pierre-Simon de Laplace (a expressão "probabilidade inversa" foi usada pela primeira vez em 1837, por Augustus de Morgan, outro britânico).

Estima-se que 1% da população de Oz esteja infectada: essa é a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso esteja doente. Escrevemos isso numa forma simplificada: P(doente)=1%, logo P(saudável)=99%. Queremos saber qual é a probabilidade P(saudável se positivo) de que a pessoa esteja bem, sabendo que ela testou positivo. O teorema de Bayes explica como calcular, e o resultado pode surpreender.

O primeiro passo é calcular P(saudável) vezes P(positivo se saudável). Como P(saudável) é 99% e a chance de falsos positivos é 3%, isso dá 99% vezes 3%, que é 2,97%. O segundo passo é fazer a mesma conta para pessoas doentes, ou seja, P(doente) vezes P(positivo se doente). Como P(doente) é 1% e a chance de falsos negativos é 2%, este cálculo dá 1% vezes 98%, ou seja, 0,98%.

O último passo é dividir o primeiro destes dois números pela soma de ambos, ou seja, P(saudável se positivo) é igual a 2,97% dividido por 2,97+0,98%. O resultado desta divisão é 75,2%. Logo, neste caso a grande maioria dos resultados positivos —mais de 3/4 deles— são falsos positivos!

Isso não quer dizer que o governo deve necessariamente desistir da ideia de testar a população. Só mostra que os resultados dos testes precisam ser interpretados com cautela.