A magia dos quadrados mágicos

"Melancolia I", de 1514, é uma das gravuras mais famosas do mestre alemão Albrecht Dürer (1471–1528). Ao centro, uma figura feminina alada, que se acredita ser a representação da melancolia, apoia o rosto enigmático e sombrio em uma das mãos. Em volta, objetos do mundo da técnica — compasso, plaina, ampulheta, balança, serra, martelo — e outros que remetem à matemática e à numerologia. Um deles, situado acima da cabeça da mulher, sempre atrai o meu olhar: um quadrado mágico.

Um quadrado mágico de ordem N consiste de um quadrado N x N preenchido com os números 1, 2, 3, ..., N² de tal forma que a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal tem sempre o mesmo valor. Esse valor, chamado constante mágica, é dado pela fórmula N(N²+1)/2.

Sabemos que existe essencialmente um único quadrado mágico de ordem 3: todos os demais podem ser obtidos dele por meio de operações simples como simetrias e rotações. Neste caso a constante mágica é 15. Já o quadrado mágico de Dürer é de ordem 4 e, portanto, a sua constante mágica é 34.

Existem exatamente 880 quadrados mágicos distintos de ordem 4. O número cresce rapidamente: para N=5 são 275.305.224, e para N=6 passam de 10¹⁹ (1 seguido de 19 zeros). De fato, para ordens maiores do que 5 só temos estimativas grosseiras do número de quadrados mágicos distintos.

O estudo dos quadrados mágicos tem uma longa história. A primeira menção conhecida —um quadrado de ordem 3— é de 190 a.C. na China. Já o primeiro registro de um quadrado mágico de ordem 4 data de 587 na Índia. A "Enciclopédia dos Irmãos da Pureza", publicada em Bagdá em 983, contém exemplos de todas as ordens até 9.

O interesse pelos quadrados mágicos espalhou-se a muitas outras culturas: Japão, Oriente Médio, África e Península Ibérica, de onde alcançou a Europa como um todo. Ao final do século 12, os principais métodos para construir esses quadrados já tinham sido descobertos, mas ainda houve muito progresso no Renascimento e além.

À medida que tais avanços tinham lugar também foi diminuindo o caráter místico que cercava estes objetos matemáticos nos seus primórdios. Mas eles mantiveram a sua fascinação, particularmente entre os artistas que, como Dürer, incorporaram quadrados mágicos em suas criações. Outro belo exemplo, também de ordem 4, está patente na fachada da espetacular igreja da Sagrada Família em Barcelona, do arquiteto espanhol Antoni Gaudí (1852–1926).