Números primos e o Teorema de Ouro

Esta é uma história sobre os mistérios da matemática, sobre como coisas que parecem não ter nada que ver entre si revelam-se intimamente relacionadas. Ela começa com os números primos ímpares: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …. Eles podem ser separados em dois tipos: o tipo 4k+1, formado por aqueles (como 5, 13, 17, …) cuja divisão por 4 dá resto 1; e o tipo 4k+3, constituído por aqueles (7, 11, 19, 23, …) cuja divisão por 4 dá resto 3.

À primeira vista não há nada notável que distinga um tipo do outro. Mas em seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Investigações Aritméticas), publicado em 1801, Gauss apontou um fato matemático muito interessante, que vou tentar explicar.

Considere dois primos ímpares, p e q, quaisquer. Dizemos que p é um quadrado perfeito módulo q se existir algum inteiro n tal que n x n - p é múltiplo de q. Por exemplo, 5 é um quadrado perfeito módulo 19: basta considerar n=9 e observar que 9x9-5=76 é múltiplo de 19.

Curiosamente, podemos inverter os papéis dos dois primos: 19 também é um quadrado perfeito módulo 5. Para ver isso, tome n=8 e observe que 8x8-19=45 é múltiplo de 5. Dizemos que 5 e 19 são primos recíprocos. Ora, Gauss mostrou que dois primos ímpares só podem ser recíprocos se pelo menos um for do tipo 4k+1. Quem diria?!

Gauss ficou tão entusiasmado com esse resultado que o chamou de Teorema de Ouro. Atualmente, é conhecido como Teorema da Reciprocidade Quadrática. Na verdade, Euler já tinha descoberto esse teorema antes, mas não conseguiu prová-lo. E Legendre deu uma prova, mas estava incompleta. A primeira prova correta foi dada por Gauss, que, aliás, publicou seis provas diferentes (nos seus papéis não publicados foram encontradas mais duas!). Hoje em dia, são conhecidas mais de 250 provas distintas.

Precisamente, o Teorema da Reciprocidade Quadrática diz que se algum dos primos p e q for do tipo 4k+1 então vale um tudo ou nada: ou eles são recíprocos (é o caso de 5 e 19, como vimos), ou nenhum deles é um quadrado perfeito módulo o outro (como acontece com 5 e 13, por exemplo). Já se forem ambos do tipo 4k+3 então exatamente um deles é quadrático perfeito módulo o outro. Por exemplo, 11 é quadrado perfeito módulo 7, mas 7 não é quadrado perfeito módulo 11 (verifique!). Em particular, nesse caso os dois primos nunca são recíprocos.

Como todo o grande teorema, este levanta muitas outras perguntas. Existe um teorema de reciprocidade cúbica (usando cubos no lugar de quadrados)? E com outra potência qualquer? Aí já é assunto para um curso no Impa!